Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

На этом уроке мы рассмотрим особенности обратных функций и повторим обратные тригонометрические функции . Отдельно будут рассмотрены свойства всех основных обратных тригонометрических функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В7 и С1 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Теория

Конспект урока

Вспомним, когда мы встречаемся с таким понятием как обратная функция. Например, рассмотрим функцию возведения в квадрат. Пусть у нас есть квадратная комната со сторонами по 2 метра и мы хотим вычислить ее площадь. Для этого по формуле пощади квадрата возводим двойку в квадрат и в результате получаем 4 м 2 . Теперь представим себе обратную задачу: мы знаем площадь квадратной комнаты и хотим найти длины ее сторон. Если мы знаем, что площадь равна все тем же 4 м 2 , то выполним обратное действие к возведению в квадрат - извлечение арифметического квадратного корня, который нам даст значение 2 м.

Таким образом, для функции возведения числа в квадрат обратной функцией является извлечение арифметического квадратного корня.

Конкретно в указанном примере у нас не возникло проблем с вычислением стороны комнаты, т.к. мы понимаем, что это положительное число. Однако если оторваться от этого случая и рассмотреть задачу более общим образом: «Вычислить число, квадрат которого равен четырем», мы столкнемся с проблемой - таких чисел два. Это 2 и -2, т.к. тоже равна четырем. Получается, что обратная задача в общем случае решается неоднозначно, и действие определения числа, которое в квадрате дало известное нам число? имеет два результата. Это удобно показать на графике:

А это значит, что такой закон соответствия чисел мы не можем назвать функцией, поскольку для функции одному значению аргумента соответствует строго одно значение функции.

Для того чтобы ввести именно обратную функцию к возведению в квадрат и было предложено понятие арифметического квадратного корня, который дает только неотрицательные значения. Т.е. для функции обратной функцией считается .

Аналогично существуют и функции, обратные к тригонометрическим, их называют обратными тригонометрическими функциями . К каждой из рассмотренных нами функций существует своя обратная, их называют: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс .

Эти функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, с использованием таблицы значений основных тригонометрических функций можно вычислить синус какого угла равен . Находим это значение в строке синусов и определяем, какому углу оно соответствует. Первое, что хочется ответить, что это угол или , но если у вас в распоряжении таблица значений до , вы тут же заметите еще одного претендента на ответ, - это угол или . А если мы вспомним о периоде синуса, то поймем, что углов, при которых синус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для косинусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью.

Т.е. мы сталкиваемся с той же проблемой, которая была для вычисления значения аргумента по значению функции для действия возведения в квадрат. И в данном случае для обратных тригонометрических функций было введено ограничение области значений, которые они дают при вычислении. Это свойство таких обратных функций называют сужением области значений , и оно необходимо для того, чтобы их можно было называть функциями.

Для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно. Например, арксинус возвращает значения углов в диапазоне от до .

Умение работать с обратными тригонометрическими функциями нам пригодится при решении тригонометрических уравнений.

Сейчас мы укажем основные свойства каждой из обратных тригонометрических функций. Кто захочет познакомиться с ними более подробно, обратитесь к главе «Решение тригонометрических уравнений» в программе 10 класса.

Рассмотрим свойства функции арксинус и построим ее график.

Определение. Арксинусом числа x

Основные свойства арксинуса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арксинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная Эту формулу желательно отдельно запомнить, т.к. она полезна для преобразований. Также отметим, что из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

Построим график функции :

Обратим внимание, что никакой из участков графика функции не повторяется, а это означает, что арксинус не является периодической функцией, в отличие от синуса. То же самое будет относиться и ко всем остальным аркфункциям.

Рассмотрим свойства функции арккосинус и построим ее график.

Определение. Арккосинусом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем как ограничения на значения синуса, а как выбранный диапазон углов.

Основные свойства арккосинуса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арккосинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида . Эту формулу тоже желательно запомнить, она пригодится нам позже;

4) Функция монотонно убывает.

Построим график функции :

Рассмотрим свойства функции арктангенс и построим ее график.

Определение. Арктангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем т.к. ограничений на значения тангенса нет, а как выбранный диапазон углов.

Основные свойства арктангенса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арктангенс:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная . Эта формула тоже полезна, как и аналогичные ей. Как в случае с арксинусом, из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

4) Функция монотонно возрастает.

Построим график функции :

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям .

К ним обычно относят 6 функций:

• арксинус (обозначение: arcsin x ; arcsin x — это угол, sin которого равен x ),
• арккосинус (обозначение: arccos x ; arccos x — это угол, косинус которого равняется x и так далее),
• арктангенс (обозначение: arctg x или arctan x ),
• арккотангенс (обозначение: arcctg x или arccot x или arccotan x ),
• арксеканс (обозначение: arcsec x ),
• арккосеканс (обозначение: arccosec x или arccsc x ).

Арксинус (y = arcsin x ) - обратная функция к sin (x = sin y . Другими словами возвращает угол по значению его sin .

Арккосинус (y = arccos x ) - обратная функция к cos (x = cos y cos .

Арктангенс (y = arctg x ) - обратная функция к tg (x = tg y ), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg .

Арккотангенс (y = arcctg x ) - обратная функция к ctg (x = ctg y ), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его ctg .

arcsec - арксеканс, возвращает угол по значению его секанса.

arccosec - арккосеканс, возвращает угол по значению его косеканса.

Когда обратная тригонометрическая функция не определяется в указанной точке, значит, ее значение не появится в итоговой таблице. Функции arcsec и arccosec не определяются на отрезке (-1,1), а arcsin и arccos определяются только на отрезке [-1,1].

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции прибавлением приставки «арк-» (от лат. arc us — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции связывают с длиной дуги единичной окружности (либо углом, который стягивает эту дугу), которая соответствует тому либо другому отрезку.

Иногда в зарубежной литературе, как и в научных/инженерных калькуляторах , используют обозначениями вроде sin −1 , cos −1 для арксинуса, арккосинуса и тому подобное, — это считается не полностью точным, т.к. вероятна путаница с возведением функции в степень −1 (« −1 » (минус первая степень) определяет функцию x = f -1 (y) , обратную функции y = f (x) ).

Основные соотношения обратных тригонометрических функций.

Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

Обозначим любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x , Arccos x , Arctan x , Arccot x и сохраним обозначения: arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x для их главных значений, тогда связь меж ними выражается такими соотношениями.

К обратным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: арксинус , арккосинус , арктангенс , арккотангенс , арксеканс и арккосеканс .

Поскольку исходные тригонометрические функции периодические, то обратные функции, вообще говоря, являются многозначными . Чтобы обеспечить однозначное соответствие между двумя переменными, области определения исходных тригонометрических функций ограничивают, рассматривая лишь их главные ветви . Например, функция \(y = \sin x\) рассматривается лишь в промежутке \(x \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\). На этом интервале обратная функция арксинус определена однозначно.

Функция арксинус
Арксинусом числа \(a\) (обозначается \(\arcsin a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\), при котором \(\sin x = a\). Обратная функция \(y = \arcsin x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений равна \(y \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\).

Функция арккосинус
Арккосинусом числа \(a\) (обозначается \(\arccos a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором \(\cos x = a\). Обратная функция \(y = \arccos x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений принадлежит отрезку \(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).



Функция арктангенс
Арктангенсом числа a (обозначается \(\arctan a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале \(\left({-\pi/2, \pi/2} \right)\), при котором \(\tan x = a\). Обратная функция \(y = \arctan x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область значений арктангенса равна \(y \in \left({-\pi/2, \pi/2} \right)\).



Функция арккотангенс
Арккотангенсом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccot } a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором \(\cot x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccot } x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область ее значений находится в интервале \(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).



Функция арксеканс
Арксекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arcsec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором \(\sec x = a\). Обратная функция \(y = \text{arcsec } x\) определена при \(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений принадлежит множеству \(y \in \left[ {0,\pi /2} \right) \cup \left({\pi /2,\pi } \right]\).



Функция арккосеканс
Арккосекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccsc } a\) или \(\text{arccosec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором \(\csc x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccsc } x\) определена при \(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений принадлежит множеству \(y \in \left[ { - \pi /2,0} \right) \cup \left({0,\pi /2} \right]\).



Главные значения функций арксинус и арккосинус (в градусах)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Главные значения функций арктангенс и арккотангенс (в градусах)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text{arccot } x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Пример 3

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

Пример 4

Найдем область определения функции

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции

Пример 5

Найдем область изменения функции

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции

Пусть Очевидно, что Тогда Так как

Введем угол Так как то

Аналогично поэтому и

Итак,

Пример 8

Построим график функции у = cos (arcsin х).

Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.

Пример 9

Построим график функции у = arccos (cos x ).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.

Отметим некоторые полезные равенства:

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и

Пример 11

Решим уравнение

Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Пример 12

Решим уравнение

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим

Пример 13

Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения

для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;

для уравнения sin х = -1 решения

для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;

для уравнения cos х = 0 решения

для уравнения cos х = -1 решения

Пример 14

Решим уравнение

Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем

III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

IV. Задание на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Задание на дом

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Творческие задания

1. Найдите область определения функции:

Ответы :

2. Найдите область значений функции:

Ответы:

3. Постройте график функции:

VII. Подведение итогов уроков

Функция, обратная косинусу

Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает.

Рис. 2

Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x .

Определение

Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку; его обозначают arccos а.

Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0? arccos a ?р.

Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи.

Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от р до 0 (поскольку y=cos х - непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(-1)= р, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 = . График функции y = arccos x (см. рис. 3) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y=x .

Рис. 3

Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = р-arccos x.

В самом деле, по определению 0 ? arcсos х? р. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства, получаем - р? arcсos х? 0. Прибавляя р ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0? р-arccos х? р.

Таким образом, значения углов arccos(-х) и р - arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и р-arccos х. По определению cos (arccos x) = - x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (р - - arccos х) = - cos (arccos х)= - х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.

Функция, обратная синусу

Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [-р/2;р/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [- р/2; р/2] определена функция, обратная функции y=sin x.

Рис. 6

Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение арксинуса числа а .

Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [-р/2; р/2]; его обозначают arcsin а.

Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -р/2 ? arcsin а? р/2. Например, так как sin и [- р/2; р/2]; arcsin , так как sin = и [- р/2; р/2].

Функция y=arcsin х (рис. 7) определена на отрезке [- 1; 1], областью ее значений является отрезок [-р/2;р/2]. На отрезке [- 1; 1] функция y=arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от -р/2 до р/2 (это следует из того, что функция y=sin x на отрезке [-р/2; р/2] непрерывна и монотонно возрастает). Наибольшее значение она принимает при x =1: arcsin 1 = р/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin (-1) = -р/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 .

Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = - arcsin х при любом х [- 1; 1].

Действительно, по определению, если |x| ?1, имеем: - р/2 ? arcsin x ? ? р/2. Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [- р/2; р/2].

Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (-arcsin х)= - sin (arcsin x)= - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-р/2; р/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin (-х)= - arcsin х. Значит, функция y=arcsin x - нечетная. График функции y=arcsin x симметричен относительно начала координат.

Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [-р/2; р/2].

Действительно, по определению -р/2 ? arcsin (sin x) ? р/2, а по условию -р/2 ? x ? р/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х. .

Рис. 7

Рис. 8

График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x-/4|) получается из него сдвигом на /4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)

Функция, обратная тангенсу

Функция y=tg x на промежутке принимает все числовые значения: E (tg x)=. На этом промежутке она непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на промежуткеопределена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x .

Арктангенсом числа а называют угол из промежутка, тангенс которого равен а. Таким образом, arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ? arctg a ? р.

Итак, любому числу х всегда соответствует единственное значение функции y = arctg x (рис. 9) .

Очевидно, что D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Функция y = arctg x является возрастающей, поскольку функция y = tg x возрастает на промежутке. Нетрудно доказать, что arctg(-x) = - arctgx, т.е. что арктангенс - нечетная функция.

Рис. 9

График функции y = arctg x симметричен графику функции y = tg x относительно прямой y = x, график y = arctg x проходит через начало координат (ибо arctg 0 = 0) и симметричен относительно начала координат (как график нечетной функции).

Можно доказать, что arctg (tg x) = x, если x.

Функция, обратная котангенсу

Функция y = ctg x на промежутке принимает все числовые значения из промежутка. Область ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В промежутке функция y = ctg x непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на этом промежутке определена функция, обратная функции y = ctg x. Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и обозначают y = arcctg x .

Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий промежутку, котангенс которого равен а.

Таким образом, аrcctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: ctg (arcctg a)=a и 0 ? arcctg a ? р.

Из определения обратной функции и определения арктангенса следует, что D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Арккотангенс является убывающей функцией, поскольку функция y = ctg x убывает в промежутке.

График функции y = arcctg x не пересекает ось Ох, так как y > 0 R. При х = 0 y = arcctg 0 =.

График функции y = arcctg x изображен на рисунке 11.

Рис. 11

Отметим, что для всех действительных значений х верно тождество: arcctg(-x) = р-arcctg x.