Различные пути построения математической модели. Что такое математическая модель? Что значит составить математическую модель
Что такое математическая модель?
Понятие математической модели.
Математическая модель - очень простое понятие. И очень важное. Именно математические модели связывают математику и реальную жизнь.
Говоря простым языком, математическая модель - это математическое описание любой ситуации. И всё. Модель может быть примитивной, может быть и суперсложной. Какая ситуация, такая и модель.)
В любом (я повторяю - в любом! ) деле, где нужно чего-нибудь посчитать да рассчитать - мы занимаемся математическим моделированием. Даже если и не подозреваем об этом.)
Р = 2·ЦБ + 3·ЦМ
Вот эта запись и будет математической моделью расходов на наши покупки. Модель не учитывает цвет упаковки, срок годности, вежливость кассиров и т.п. На то она и модель, а не реальная покупка. Но расходы, т.е. то, что нам надо - мы узнаем точно. Если модель правильная, конечно.
Представлять, что такое математическая модель полезно, но этого мало. Самое главное - уметь эти модели строить.
Составление (построение) математической модели задачи.
Составить математическую модель - это значит, перевести условия задачи в математическую форму. Т.е. превратить слова в уравнение, формулу, неравенство и т.д. Причём превратить так, чтобы эта математика строго соответствовала исходному тексту. Иначе у нас получится математическая модель какой-то другой, неведомой нам задачи.)
Говоря конкретнее, нужно
Задач в мире - бесконечное количество. Поэтому предложить чёткую пошаговую инструкцию по составлению математической модели любой задачи - невозможно.
Но можно выделить три основных момента, на которые нужно обратить внимание.
1. В любой задаче есть текст, как ни странно.) В этом тексте, как правило, имеется явная, открытая информация. Числа, значения и т.п.
2. В любой задаче имеется скрытая информация. Это текст, который предполагает наличие дополнительных знаний в голове. Без них - никак. Кроме того, математическая информация частенько скрывается за простыми словами и... проскакивает мимо внимания.
3. В любой задаче должно быть дана связь данных между собой. Эта связь может быть дана открытым текстом (что-то равно чему-то), а может быть и скрыта за простыми словами. Но простые и понятные факты частенько упускаются из виду. И модель никак не составляется.
Сразу скажу: чтобы применить эти три момента, задачу приходится читать (и внимательно!) несколько раз. Обычное дело.
А теперь - примеры.
Начнём с простой задачки:
Петрович вернулся с рыбалки и гордо предъявил семье улов. При ближайшем рассмотрении оказалось, что 8 рыбин родом из северных морей, 20% всех рыбин - из южных, а из местной реки, где рыбачил Петрович - нет ни одной. Сколько всего рыбин купил Петрович в магазине "Морепродукты"?
Все эти слова нужно превратить в какое-то уравнение. Для этого нужно, повторюсь, установить математическую связь между всеми данными задачи.
С чего начинать? Сначала вытащим из задачи все данные. Начнём по порядочку:
Обращаем внимание на первый момент.
Какая здесь явная математическая информация? 8 рыбин и 20%. Не густо, да нам много и не надо.)
Обращаем внимание на второй момент.
Ищем скрытую информацию. Она здесь есть. Это слова: "20% всех рыбин ". Здесь нужно понимать, что такое проценты и как они считаются. Иначе задача не решается. Это как раз та дополнительная информация, которая должна быть в голове.
Здесь ещё имеется математическая информация, которую совершенно не видно. Это вопрос задачи: "Сколько всего рыбин купил..." Это ведь тоже какое-то число. И без него никакая модель не составится. Поэтому обозначим это число буквой "х". Мы пока не знаем, чему равен икс, но такое обозначение очень нам пригодится. Подробнее, что брать за икс и как с ним обращаться, написано в уроке Как решать задачи по математике? Вот так сразу и запишем:
х штук - общее количество рыб.
В нашей задаче южные рыбы даны в процентах. Надо их перевести в штуки. Зачем? Затем, что в любой задаче модели надо составлять в однотипных величинах. Штуки - так всё в штуках. Если даны, скажем часы и минуты - всё переводим во что-нибудь одно - или только часы, или только минуты. Не суть важно во что. Важно, чтобы все величины были однотипными.
Возвращаемся к раскрытию информации. Кто не знает, что такое процент, никогда не раскроет, да... А кто знает, тот сразу скажет, что проценты здесь от общего числа рыб даны. А нам это число неизвестно. Ничего не выйдет!
Общее количество рыб (в штуках!) мы не зря буквой "х" обозначили. Посчитать южных рыб в штуках не получится, но записать-то мы сможем? Вот так:
0,2·х штук - количество рыб из южных морей.
Вот теперь мы скачали всю информацию с задачи. И явную, и скрытую.
Обращаем внимание на третий момент.
Ищем математическую связь между данными задачи. Эта связь настолько проста, что многие её не замечают... Такое часто бывает. Здесь полезно просто записать собранные данные в кучку, да и посмотреть, что к чему.
Что у нас есть? Есть 8 штук северных рыб, 0,2·х штук - южных рыб и х рыб - общее количество. Можно связать эти данные как-то воедино? Да легко! Общее количество рыб равно сумме южных и северных! Ну кто бы мог подумать...) Вот и записываем:
х = 8 + 0,2х
Вот это уравнение и будет математической моделью нашей задачи.
Прошу заметить, что в этой задаче нас не просят ничего складывать! Это мы сами, из головы, сообразили, что сумма южных и северных рыб даст нам общее количество. Вещь настолько очевидная, что проскакивает мимо внимания. Но без этой очевидности математическую модель не составить. Вот так.
Теперь уже можно применить всю мощь математики для решения этого уравнения). Именно для этого и составлялась математическая модель. Решаем это линейное уравнение и получаем ответ.
Ответ: х=10
Составим математичесскую модель ещё одной задачки:
Спросили Петровича: "А много ли у тебя денег?" Заплакал Петрович и отвечает: "Да всего чуть-чуть. Если я потрачу половину всех денег, да половину остатка, то всего-то один мешок денег у меня и останется..." Сколько денег у Петровича?
Опять работаем по пунктам.
1. Ищем явную информацию. Тут её не сразу и обнаружишь! Явная информация - это один мешок денег. Есть ещё какие-то половинки... Ну, это во втором пункте разберём.
2. Ищем скрытую информацию. Это половинки. Чего? Не очень понятно. Ищем дальше. Есть ещё вопрос задачи: "Сколько денег у Петровича?" Обозначим количество денег буквой "х" :
х - все деньги
И вновь читаем задачу. Уже зная, что у Петровича х денег. Вот тут уже и половинки сработают! Записываем:
0,5·х - половина всех денег.
Остаток будет тоже половина, т.е. 0,5·х. А половину от половины можно записать так:
0,5·0,5·х = 0,25х - половина остатка.
Теперь вся скрытая информация выявлена и записана.
3. Ищем связь между записанными данными. Здесь можно просто читать страдания Петровича и записывать их математически):
Если я потрачу половину всех денег ...
Запишем этот процесс. Всех денег - х. Половина - 0,5·х . Потратить - это отнять. Фраза превращается в запись:
х - 0,5·х
да половину остатка...
Отнимем ещё половину остатка:
х - 0,5·х - 0,25х
то всего-то один мешок денег у меня и останется...
А вот и равенство нашлось! После всех вычитаний один мешок денег остаётся:
х - 0,5·х - 0,25х = 1
Вот она, математическая модель! Это опять линейное уравнение, решаем, получаем:
Вопрос на соображение. Четыре - это чего? Рубля, доллара, юаня? А в каких единицах у нас деньги в математической модели записаны? В мешках! Значит, четыре мешка денег у Петровича. Тоже неплохо.)
Задачки, конечно, элементарные. Это специально, чтобы уловить суть составления математической модели. В некоторых задачах может быть гораздо больше данных, в которых легко запутаться. Это часто бывает в т.н. компетентностных задачах. Как вытаскивать математическое содержание из кучи слов и чисел показано на примерах
Ещё одно замечание. В классических школьных задачах (трубы заполняют бассейн, куда-то плывут катера и т.п.) все данные, как правило, подобраны очень тщательно. Там выполняются два правила:
- информации в задаче хватает для её решения,
- лишней информации в задаче не бывает.
Это подсказка. Если осталась какая-то неиспользованная в математической модели величина - задумайтесь, нет ли ошибки. Если данных никак не хватает - скорее всего, не вся скрытая информация выявлена и записана.
В компетентностных и прочих жизненных задачах эти правила строго не соблюдаются. Нету подсказки. Но и такие задачи можно решать. Если, конечно, потренироваться на классических.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Представь себе самолет: крылья, фюзеляж, хвостовое оперение, все это вместе – настоящий огромный, необъятный, целый самолет. А можно сделать модель самолета, маленькую, но все как взаправду, те же крылья и т.д., но компактный. Так же и математическая модель. Есть текстовая задача, громоздкая, на нее можно так посмотреть, прочесть, но не совсем понять, и уж тем более не ясно как решать ее. А что если сделать из большой словесной задачи ее маленькую модель, математическую модель? Что значит математическую? Значит, используя правила и законы математической записи, переделать текст в логически верное представление при помощи цифр и арифметических знаков. Итак, математическая модель – это представление реальной ситуации с помощью математического языка.
Начнем с простого: Число больше числа на. Нам нужно записать это, не используя слов, а только язык математики. Если больше на, то получается, что если мы из вычтем, то останется та самая разность этих чисел равная. Т.е. или. Суть понял?
Теперь посложнее, сейчас будет текст, который ты должен попробовать представить в виде математической модели, пока не читай, как это сделаю я, попробуй сам! Есть четыре числа: , и. Произведение и больше произведения и в два раза.
Что получилось?
В виде математической модели выглядеть это будет так:
Т.е. произведение относится к как два к одному, но это можно еще упросить:
Ну ладно, на простых примерах ты понял суть, я так полагаю. Переходим к полноценным задачам, в которых эти математические модели еще и решать нужно! Вот задача.
Математическая модель на практике
Задача 1
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле, где - расстояние в метрах, - время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с? Ответ выразите в метрах.
О, ужас! Какие формулы, что за колодец, что происходит, что делать? Я прочел твои мысли? Расслабься, в задачах этого типа условия бывают и пострашнее, главное помнить, что тебя в этой задаче интересуют формулы и отношения между переменными, а что все это обозначает в большинстве случаев не очень важно. Что ты тут видишь полезного? Я лично вижу. Принцип решения этих задач следующий: берешь все известные величины и подставляешь. НО, задумываться иногда надо!
Последовав моему первому совету, и,подставив все известные в уравнение, получим:
Это я подставил время секунды, и нашел высоту, которую пролетал камень до дождя. А теперь надо посчитать после дождя и найти разницу!
Теперь прислушайся ко второму совету и задумайся, в вопросе уточняется, «на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с». Сразу надо прикинуть, тааак, после дождя уровень воды повышается, значит, время падения камня до уровня воды меньше и тут витиеватая фраза «чтобы измеряемое время изменилось» приобретает конкретный смысл: время падения не увеличивается, а сокращается на указанные секунды. Это означает, что в случае броска после дождя, нам просто нужно из начального времени c вычесть с, и получим уравнение высоты, которую камень пролетит после дождя:
Ну и наконец, чтобы найти, на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с., нужно просто вычесть из первой высоты падения вторую!
Получим ответ: на метра.
Как видишь, ничего сложного нет, главное, особо не заморачивайся, откуда такое непонятное и порой сложное уравнение в условиях взялось и что все в нем означает, поверь на слово, большинство этих уравнений взяты из физики, а там дебри похлеще, чем в алгебре. Мне иногда кажется, что эти задачи придуманы, чтоб запугать ученика на ЕГЭ обилием сложных формул и терминов, а в большинстве случаев не требуют почти никаких знаний. Просто внимательно читай условие и подставляй известные величины в формулу!
Вот еще задача, уже не по физике, а из мира экономической теории, хотя знаний наук кроме математики тут опять не требуется.
Задача 2
Зависимость объёма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены (тыс. руб.) задаётся формулой
Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле. Определите наибольшую цену, при которой месячная выручка составит не менее тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Угадай, что сейчас сделаю? Ага, начну подставлять то, что нам известно, но, опять же, немного подумать все же придется. Пойдем с конца, нам нужно найти при котором. Так, есть, равно какому-то, находим, чему еще равно это, а равно оно, так и запишем. Как ты видишь, я особо не заморачиваюсь о смысле всех этих величин, просто смотрю из условий, что чему равно, так тебе поступать и нужно. Вернемся к задаче, у тебя уже есть, но как ты помнишь из одного уравнения с двумя переменными ни одну из них не найти, что же делать? Ага, у нас еще в условии осталась неиспользованная частичка. Вот, уже два уравнения и две переменных, значит, теперь обе переменные можно найти - отлично!
– такую систему решить сможешь?
Решаем подстановкой, у нас уже выражена, значит, подставим ее в первое уравнение и упростим.
Получается вот такое квадратное уравнение: , решаем, корни вот такие, . В задании требуется найти наибольшую цену, при которой будут соблюдаться все те условия, которые мы учли, когда систему составляли. О, оказывается это было ценой. Прикольно, значит, мы нашли цены: и. Наибольшую цену, говорите? Окей, наибольшая из них, очевидно, ее в ответ и пишем. Ну как, сложно? Думаю, нет, и вникать не надо особо!
А вот тебе и устрашающая физика, а точнее еще одна задачка:
Задача 3
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому, где - мощность излучения звезды, - постоянная, - площадь поверхности звезды, а - температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна, а мощность её излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.
Откуда и понятно? Да, в условии написано, что чему равно. Раньше я рекомендовал все неизвестные сразу подставлять, но здесь лучше сначала выразить неизвестное искомое. Смотри как все просто: есть формула и в ней известны, и (это греческая буква «сигма». Вообще, физики любят греческие буквы, привыкай). А неизвестна температура. Давай выразим ее в виде формулы. Как это делать, надеюсь, знаешь? Такие задания на ГИА в 9 классе обычно дают:
Теперь осталось подставить числа вместо букв в правой части и упростить:
Вот и ответ: градусов Кельвина! А какая страшная была задача, а!
Продолжаем мучить задачки по физике.
Задача 4
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону, где - высота в метрах, - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?
То были всё уравнения, а вот здесь надо определить, сколько мяч находился на высоте не менее трех метров, это значит на высоте. Что мы составлять будем? Неравенство, именно! У нас есть функция, которая описывает как летит мяч, где – это как раз та самая высота в метрах, нам нужна высота. Значит
А теперь просто решаешь неравенство, главное, не забудь поменять знак неравенства с больше либо равно на меньше, либо равно, когда будешь умножать на обе части неравенства, чтоб перед от минуса избавиться.
Вот такие корни, строим интервалы для неравенства:
Нас интересует промежуток, где знак минус, поскольку неравенство принимает там отрицательные значения, это от до оба включительно. А теперь включаем мозг и тщательно думаем: для неравенства мы применяли уравнение, описывающее полет мяча, он так или иначе летит по параболе, т.е. он взлетает, достигает пика и падает, как понять, сколько времени он будет находиться на высоте не менее метров? Мы нашли 2 переломные точки, т.е. момент, когда он взмывает выше метров и момент, когда он, падая, достигает этой же отметки, эти две точки выражены у нас в виде времени, т.е. мы знаем на какой секунде полета он вошел в интересующую нас зону (выше метров) и в какую вышел из нее (упал ниже отметки в метра). Сколько секунд он находился в этой зоне? Логично, что мы берем время выхода из зоны и вычитаем из него время вхождения в эту зону. Соответственно: - столько он находился в зоне выше метров, это и есть ответ.
Так уж тебе повезло, что больше всего примеров по этой теме можно взять из разряда задачек по физике, так что лови еще одну, она заключительная, так что поднапрягись, осталось совсем чуть-чуть!
Задача 5
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы:
Где - время в минутах, . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
Действуем по отлаженной схеме, все, что дано, сперва выписываем:
Теперь берем формулу и приравниваем ее к значению температуры, до которой максимально можно нагреть прибор пока он не сгорит, то есть:
Теперь подставляем вместо букв числа там, где они известны:
Как видишь, температура при работе прибора описывается квадратным уравнением, а значит, распределяется по параболе, т.е. прибор нагревается до какой-то температуры, а потом остывает. Мы получили ответы и, следовательно, при и при минутах нагревания температура равна критической, но между и минутами - она еще выше предельной!
А значит, отключить прибор нужно через минуты.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Чаще всего математические модели используются в физике: тебе ведь наверняка приходилось запоминать десятки физических формул. А формула – это и есть математическое представление ситуации.
В ОГЭ и ЕГЭ есть задачи как раз на эту тему. В ЕГЭ (профильном) это задача номер 11 (бывшая B12). В ОГЭ – задача номер 20.
Схема решения очевидна:
1) Из текста условия необходимо «вычленить» полезную информацию – то, что в задачах по физике мы пишем под словом «Дано». Этой полезной информацией являются:
- Формула
- Известные физические величины.
То есть каждой букве из формулы нужно поставить в соответствие определенное число.
2) Берешь все известные величины и подставляешь в формулу. Неизвестная величина так и остается в виде буквы. Теперь нужно только решить уравнение (обычно, довольно простое), и ответ готов.
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Четыре седьмых класса.
В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков,
в 7Б - 12 девочек и 12 мальчиков,
в 7В - 9 девочек и 18 мальчиков,
в 7Г - 20 девочек и 10 мальчиков.
Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придется осуществлять одну и ту же операцию сложения:
в 7А 15 + 13 = 28 учеников;
в 7Б 12 +12 = 24 ученика;
в 7В 9 + 18 = 27 учеников;
в 7Г 20 + 10 = 30 учеников.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиИнструкция
Метод статистического моделирования (статистических испытаний) широко известен как метод «Монте-Карло». Этот метод является частным случаем математического моделирования и основан на создании вероятностных моделей случайных явлений. Основа любого случайного – случайная величина или случайный процесс. При этом случайный процесс с вероятностной точки зрения описываются как n-мерная случайная величина. Полное вероятностное случайной величины дает ее плотность вероятности. Знание этого закона распределения позволяет получать на ЭВМ цифровые модели случайных процессов, не с ними натурных экспериментов. Все это возможно лишь в дискретном виде и в дискретном времени, что необходимо учитывать при создании статических моделей.
При статическом моделировании следует отойти от рассмотрения конкретной явления, сосредоточившись лишь на его вероятностных характеристиках. Это позволяет привлекать для моделирования простейшие явления, имеющие вероятностные показатели с моделируемым явлением. Например, любые события, наступающие с вероятностью 0,5, можно моделировать простым бросанием симметричной монеты. Каждый отдельный этап статистического моделирования называют розыгрышем. Так, для определения оценки математического ожидания потребуется N розыгрышей случайной величины (СВ) X.
Основным инструментом моделирования на ЭВМ являются датчики случайных чисел равномерных на интервале (0, 1). Так, в среде Pascal вызов такого случайного числа осуществляется с помощью команды Random. На калькуляторах на этот случай предусмотрена кнопка RND. Существуют и таблицы таких случайных чисел (по объему до 1000000). Значение равномерной на (0, 1) СВ Z обозначается z.
Рассмотрите методику моделирования произвольной случайной величины с помощью нелинейного преобразования функции распределения. Этот метод не обладает методическими погрешностями. Пусть закон распределения непрерывной СВ Х задан плотностью вероятности W(x). Отсюда и начните подготовку к моделированию и его осуществление.
Найдите функцию распределения Х - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Возьмите Z=z и разрешите уравнение z=F(x) относительно х (это всегда возможно, так как и Z и F(x) имеют значения в пределах от нуля до единицы).Запишите решение x=F^(-1)(z). Это и есть алгоритм моделирования. F^(-1) – обратная F. Остается лишь последовательно получать по этому алгоритму значения xi цифровой модели Х* CD X.
Пример. СВ задана плотностью вероятности W(x)=λexp(-λx), x≥0 (экспоненциальное распределение). Найти цифровую модель.Решение.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1- exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Так как и z и 1-z имеют значения из интервала (0, 1) и они равномерны, то (1-z) можно заменить на z. 3. Процедура моделирования экспоненциальной СВ производится по формуле x=(-1/λ)∙lnz. Точнее xi=(-1/λ)ln(zi).
Математические модели
Математическая модель - приближенное опи сание объекта моделирования, выраженное с помо щью математической символики.
Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математиче ская модель называется компьютерной математической моделью , а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом .
Этапы компьютерного математического мо делирования изображены на рисунке. Первый этап - определение целей моделирования. Эти цели могут быть различными:
- модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия
с окружающим миром (понимание); - модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);
- модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).
Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции двух видов особей, имеющих общую кормовую базу, "вдруг" начинают резко менять численность. И здесь математическое моделирование позволяет (с известной долей достоверности) установить причину (или по крайней мере опровергнуть определенную гипотезу).
Выработка концепции управления объектом - другая возможная цель моделирования. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.
Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных. Если ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве относительно легко, то проследить (предсказать) экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия изменений налогового законодательства несравненно труднее. Возможно, и здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.
Второй этап: определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием, или разделением по рангам (см. "Формализа ция и моделирование" ).
Третий этап: построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление. Математическая модель - это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр.
Четвертый этап: выбор метода исследования математической модели. Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию. Как правило, для решения одной и той же задачи подходит несколько методов, различающихся точностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.
Пятый этап: разработка алгоритма, составление и отладка программы для ЭВМ - трудно формализуемый процесс. Из языков программирования многие профессионалы для математического моделирования предпочитают FORTRAN: как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математических методов. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, С, - в зависимости от характера задачи и склонностей программиста.
Шестой этап: тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом. Это - лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. Обычно тестирование заканчивается тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.
Седьмой этап: собственно вычислительный эксперимент, в процессе которого выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель достаточно адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментально полученными характеристиками с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.
Классификация математических моделей
В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:
- дескриптивные (описательные) модели;
- оптимизационные модели;
- многокритериальные модели;
- игровые модели.
Поясним это на примерах.
Дескриптивные (описательные) модели . Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.
Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.
Многокритериальные модели . Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.
Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.
В школьном курсе информатики начальное представление о компьютерном математическом моделировании ученики получают в рамках базового курса. В старших классах математическое моделирование может глубоко изучаться в общеобразовательном курсе для классов физико-математического профиля, а также в рамках специализированного элективного курса.
Основными формами обучения компьютерному математическому моделированию в старших классах являются лекционные, лабораторные и зачетные занятия. Обычно работа по созданию и подготовке к изучению каждой новой модели занимает 3-4 урока. В ходе изложения материала ставятся задачи, которые в дальнейшем должны быть решены учащимися самостоятельно, в общих чертах намечаются пути их решения. Формулируются вопросы, ответы на которые должны быть получены при выполнении заданий. Указывается дополнительная литература, позволяющая получить вспомогательные сведения для более успешного выполнения заданий.
Формой организации занятий при изучении нового материала обычно служит лекция. После завершения обсуждения очередной модели учащиеся имеют в своем распоряжении необходимые теоретические сведения и набор заданий для дальнейшей работы. В ходе подготовки к выполнению задания учащиеся выбирают подходящий метод решения, с помощью какого-либо известного частного решения тестируют разработанную программу. В случае вполне возможных затруднений при выполнении заданий дается консультация, делается предложение более детально проработать указанные разделы в литературных источниках.
Наиболее соответствующим практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой при этом являются компьютерные лабораторные работы. Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.
Результаты работы должны быть представлены в численном виде, в виде графиков, диаграмм. Если имеется возможность, процесс представляется на экране ЭВМ в динамике. По окончанию расчетов и получению результатов проводится их анализ, сравнение с известными фактами из теории, подтверждается достоверность и проводится содержательная интерпретация, что в дальнейшем отражается в письменном отчете.
Если результаты удовлетворяют ученика и учителя, то работа считается завершенной, и ее конечным этапом является составление отчета. Отчет включает в себя краткие теоретические сведения по изучаемой теме, математическую постановку задачи, алгоритм решения и его обоснование, программу для ЭВМ, результаты работы программы, анализ результатов и выводы, список использованной литературы.
Когда все отчеты составлены, на зачетном занятии учащиеся выступают с краткими сообщениями о проделанной работе, защищают свой проект. Это является эффективной формой отчета группы, выполняющей проект, перед классом, включая постановку задачи, построение формальной модели, выбор методов работы с моделью, реализацию модели на компьютере, работу с готовой моделью, интерпретацию полученных результатов, прогнозирование. В итоге учащиеся могут получить две оценки: первую - за проработанность проекта и успешность его защиты, вторую - за программу, оптимальность ее алгоритма, интерфейс и т.д. Учащиеся получают отметки и в ходе опросов по теории.
Существенный вопрос - каким инструментарием пользоваться в школьном курсе информатики для математического моделирования? Компьютерная реализация моделей может быть осуществлена:
- с помощью табличного процессора (как правило, MS Excel);
- путем создания программ на традиционных языках программирования (Паскаль, Бейсик и др.), а также на их современных версиях (Delphi, Visual
Basic for Application и т.п.); - с помощью специальных пакетов прикладных программ для решения математических задач (MathCAD и т.п.).
На уровне основной школы первое средство представляется более предпочтительным. Однако в старшей школе, когда программирование является, наряду с моделированием, ключевой темой информатики, желательно привлекать его в качестве инструмента моделирования. В процессе программирования учащимся становятся доступными детали математических процедур; более того, они просто вынуждены их осваивать, а это способствует и математическому образованию. Что же касается использования специальных пакетов программ, то это уместно в профильном курсе информатики в качестве дополнения к другим инструментам.
Задание :
- Составить схему ключевых понятий.
