Показательные уравнения подготовка к егэ. Степенные или показательные уравнения. V. Проверочная работа
Решение показательных уравнений. Примеры.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое показательное уравнение ? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.
Вот вам примеры показательных уравнений :
3 х ·2 х = 8 х+3
Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа . В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.
Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.
Решение простейших показательных уравнений.
Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:
Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:
Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!
Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)
Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:
2 х +2 х+1 = 2 3 , или
двойки убирать нельзя!
Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.
"Вот те раз!" - скажете вы. "Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?"
Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева - справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду. По правилам математики, разумеется.
Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.
Решение простых показательных уравнений. Примеры.
При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.
К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.
Посмотрим, как это делается на практике?
Пусть нам дан пример:
2 2х - 8 х+1 = 0
Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что
Двойка и восьмёрка - родственнички по степени.) Вполне можно записать:
8 х+1 = (2 3) х+1
Если вспомнить формулку из действий со степенями:
(а n) m = a nm ,
то вообще отлично получается:
8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)
Исходный пример стал выглядеть вот так:
2 2х - 2 3(х+1) = 0
Переносим 2 3 (х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:
2 2х = 2 3(х+1)
Вот, практически, и всё. Убираем основания:
Решаем этого монстра и получаем
Это правильный ответ.
В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.
Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.
Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Ответы (в беспорядке, естественно!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 - это всё 64.
Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)
Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:
3 2х+4 -11·9 х = 210
И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:
9 х = (3 2) х = 3 2х
По тем же правилам действий со степенями:
3 2х+4 = 3 2х ·3 4
Вот и отлично, можно записать:
3 2х ·3 4 - 11·3 2х = 210
Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?
Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:
Не знаешь, что нужно - делай, что можно!
Глядишь, всё и образуется).
Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:
3 2х (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Пример становится всё лучше и лучше!
Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:
Оп-па! Всё и наладилось!
Это окончательный ответ.
Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.
Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.
Решим уравнение:
4 х - 3·2 х +2 = 0
Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.
4 х = (2 2) х = 2 2х
Получаем уравнение:
2 2х - 3·2 х +2 = 0
А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2 х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!
Итак, пусть
Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:
Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t 1:
Стало быть,
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
Гм... Слева 2 х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:
Вот теперь всё. Получили 2 корня:
Это ответ.
При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:
Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?" , только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:
Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто.
В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".
Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.
Решить показательные уравнения:
Посложнее:
2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48
9 х - 8·3 х = 9
2 х - 2 0,5х+1 - 8 = 0
Найти произведение корней:
2 3-х + 2 х = 9
Получилось?
Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):
7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3
Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)
2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х
Пример попроще, для отдыха):
9·2 х - 4·3 х = 0
И на десерт. Найти сумму корней уравнения:
х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0
Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).
Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):
1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.
Всё удачно? Отлично.
Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)
Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
2 х = 2 3
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
2 х = 2 3
х = 3
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
3 3х — 9 х+8 = 0
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .
3 3х = (3 2) х+8
Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10 4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .
4 х = (2 2) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:
2 2х+4 = 2 2х 2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2:
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
Решим уравнение:
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
Возвращаемся к переменной x .
Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х
Стало быть,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Вступайте в группу
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока
: урок обобщения и комплексных применений знаний, умений и навыков по теме “Показательные уравнения и способы их решения”.Цели урока.
Оборудование:
компьютер и мультимедийный проектор.На уроке используются информационные технологии : методическое обеспечение к уроку – презентация в программе Microsoft Power Point.
Ход урока
Всякое умение трудом даётся
I. Постановка цели урока (Слайд № 2 )
На этом уроке подведём итог и обобщим тему “Показательные уравнения, их решения”. Познакомимся с типовыми заданиями ЕГЭ разных лет по данной теме.
Задачи на решение показательных уравнений могут встречаться в любой части заданий ЕГЭ. В части “В ” обычно предлагают решить простейшие показательные уравнения. В части “С ” можно встретить более сложные показательные уравнения, решение которых обычно является одним из этапов выполнения задания.
Например (Слайд № 3 ).
- ЕГЭ – 2007
В 4 – Найдите наибольшее значение выражения х у , где (х; у ) – решение системы:
В 1 – Решить уравнения:
а) х 6 3х – 36 6 3х = 0;
б) 4 х
+1 + 8 4 х
= 3.
В 4 – Найдите значение выражения х + у , где (х; у ) – решение системы:
- ЕГЭ – 2010
II. Актуализация опорных знаний. Повторение
(Слайды № 4 – 6 презентации к уроку)На экран демонстрируется опорный конспект теоретического материала по теме.
Обсуждаются следующие вопросы:
- Какие уравнения называются показательными?
- Назвать основные способы их решения. Привести примеры их видов (Слайд № 4 )
- Какую теорему используют при решении простейших показательных уравнений вида: а f(x) = a g(x) ?
- Какие ещё методы решения показательных уравнений существуют? (Слайд № 5 )
(Самостоятельно решить предлагаемые уравнения к каждому способу и выполнить самопроверку с помощью слайда)
- Метод разложения на множители (основан на свойствах степеней с одинаковыми основаниями, приём: выносится за скобку степень с наименьшим показателем).
- Приём деления (умножения) на показательное выражение, отличное от нуля, при решении однородных показательных уравнений .
- Совет:
-
Решение уравнений двумя последними методами
с последующими комментариями
(Слайд № 6 ).
. 4 х + 1 – 2 4 х – 2 = 124, 4 х – 2 (4 3 - 2) = 124, 4 х – 2 62 = 124,4 х – 2 = 2, 4 х – 2 = 4 0,5 , х – 2 = 0,5, х = 2,5 .
2 2 2х – 3 2 х 5 х – 5 5 2х = 0¦: 5 2х 0,2 (2/5) 2х – 3 (2/5) х - 5 = 0,
t = (2/5) х, t > 0, 2t 2 - 3 t - 5 = 0, t = -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) х, х = ?...
III. Решение заданий ЕГЭ 2010
Учащиеся самостоятельно решают предлагаемые в начале урока на слайде № 3 задания, используя указания к решению, проверяют свой ход решения и ответы к ним с помощью презентации (Слайд № 7 ). В процессе работы обсуждаются варианты и способы решения, обращается внимание на возможные ошибки при решении.
: а) 7 х – 2 = 49, б) (1/6) 12 – 7 х = 36. Ответ: а) х = 4, б) х = 2. : 4 х 2 + 3х – 2 - 0,5 2х2 + 2х – 1 = 0. (Можно заменить 0,5 = 4 – 0,5)Решение . ,
х 2 + 3х – 2 = -х 2 - 4х + 0,5 …
Ответ: х = -5/2, х = 1/2.
: 5 5 tgy + 4 = 5 -tgy , при сos y < 0.Указание к решению
. 5 5 tgy + 4 = 5 -tgy ¦ 5 tgy 0,5 5 2gy + 4 5 tgy – 1 = 0. Пусть х = 5 tgy , …
5 tgy = -1 (?...), 5 tgy = 1/5.
Так как tgy = -1 и сos y < 0, то у II координатной четверти
Ответ: у = 3/4 + 2k , k N .
IV. Совместная работа у доски
Рассматривается задание высокого уровня обученности – Слайд № 8 . С помощью данного слайда происходит диалог учителя и учащихся, способствующий развитию решения.
– При каком параметре а уравнение 2 2х – 3 2 х + а 2 – 4а = 0 имеет два корня?Пусть t = 2 х , где t > 0 . Получаем t 2 – 3t + (а 2 – 4а ) = 0 .
1). Так как уравнение имеет два корня, то D > 0;
2). Так как t 1,2 > 0, то t 1 t 2 > 0, то есть а 2 – 4а > 0 (?...).
Ответ: а (– 0,5; 0) или (4; 4,5).
V. Проверочная работа
(Слайд № 9 )Учащиеся выполняют проверочную работу на листочках, осуществляя самоконтроль и самооценку выполненной работы с помощью презентации, утверждаясь в теме. Самостоятельно определяют для себя программу регулирования и коррекции знаний по допущенным ошибкам в рабочих тетрадях. Листы с выполненной самостоятельной работой сдаются учителю на проверку.
Подчёркнутые номера – базового уровня, со звёздочкой – повышенной сложности.
Решение и ответы .
3. 2 х – 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 х – 1 76 = 19, 2 х – 1 = 1/4, 2 х – 1 = 2 – 2 , х – 1 = -2,
х = -1.
4 *.3 9 х = 2 3 х 5 х + 5 25 х | : 25 х ,
3 (9/25) х = 2 (3/5) х + 5,
3 (9/27) х = 2 (3/5) х + 5 = 0,
3 (3/5) 2х – 2 (3/5) х - 5 = 0,…, (3/5) х = -1 (не подходит ),
(3/5) х = 5, х = -1.
VI. Задание на дом
(Слайд № 10 )- Повторить § 11, 12.
- Из материалов ЕГЭ 2008 – 2010 г. выбрать задания по теме и решить их.
- Домашняя проверочная работа :
