Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Системы неравенств

с двумя переменными

К учебнику Ю.Н.Макарычева

Алгебра, 9 класс, Глава III §

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Решение системы неравенств

с двумя переменными

Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений этих переменных, являющаяся как решением первого неравенства, так и второго неравенства системы.

(1; 2) – решение?

(2; 1) – решение?

(1; 2) – решение

(2; 1) –не решение

Изображение множества решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости

Парабола разбивает координатную плоскость на две области. Решением неравенства является область с точкой А.

Изображение множества решений системы неравенств с двумя переменными на координатной плоскости

Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений неравенств, входящих в систему. На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, являющихся общей частью множеств, представляющих собой решения каждого неравенства системы.

х = 2

• Построим прямую х = 2.

• Построим прямую у = -3.
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

у = -3

Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (прямой угол)

• Построим прямую 2у + 3х = 6
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

• Построим прямую у - 2х = -3
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (угол)

• Построим прямую у = 2 х + 1
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

• Построим прямую у = 2 х - 1
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (полоса)

• Построим окружность х 2 + у 2 = 1
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

• Построим прямую 2х + у = 0
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

Решениями данной системы являются точки полукруга

• Построим параболу у = (х - 1) 2 -2
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

• Построим окружность (х-1) 2 +(у+2) 2 =1
• Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку

Решениями данной системы являются точки пересечения множеств решений неравенств системы

Изобразить множество точек, которые являются решениями системы и вычислить площадь получившейся фигуры

Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.

Навигация по странице.

Что такое неравенства с переменными?

Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.

Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.

Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .

А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:

(или знак )

где – некоторое выражение с данными переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.

Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.

Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид

Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.

Пример 1. Решить систему

Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):

Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.

Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).

Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.

Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).

Задания

I уровень

1.1. Решить графически:

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

II уровень

2.1. Решите графически:

1) 2)

2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:

1) 2) 3)

2.3. Найдите все целочисленные решения системы:

1) 2)

3)

2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество решений с двумя целочисленными координатами

Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» предназначен для обучения алгебре по данной теме в 9 классе общеобразовательной школы. Видеоурок содержит описание теоретических основ решения неравенств, подробно описывает процесс решения неравенств графическим способом, его особенности, демонстрирует примеры решения заданий по теме. Задача данного видеоурока - при помощи наглядного представления информации облегчить понимание материала, способствовать формированию умений в решении задач с применением изученных математических методов.

Основными инструментами видеоурока являются использование анимации в представлении графиков и теоретических сведений, выделение понятий, особенностей, важных для понимания и запоминания материала, цветом и другими графическими способами, голосовое сопровождение объяснения с целью более легкого запоминания информации и формирования умения использования математического языка.

Видеоурок начинается и представления темы и примера, демонстрирующего понятие решения неравенства. Для формирования понимания смысла понятия решения представлено неравенство 3х 2 -у<10, в которое подставляется пара значений х=2 и у=6. Демонстрируется, как после подстановки данных значений неравенство становится верным. Понятие решения данного неравенства как пары значений (2;6) выведено на экран, подчеркивая его важность. Затем представляется определение рассмотренного понятия для запоминания его учениками или записи в тетрадь.

Важной частью умения решать неравенства является умение изобразить на координатной плоскости множество его решений. Формирование такого умения в данном уроке начинается с демонстрации нахождения множества решений линейных неравенств ax+byc. Отмечаются особенности задания неравенства - х и у являются переменными, a, b, c - некоторыми числами, среди которых a и b не равны нулю.

Примером такого неравенства является х+3у>6. Чтобы преобразовать неравенство в равносильное неравенство, отражающее зависимость значений у от значений х, обе части неравенства делятся на 3, у остается в одной части уравнения, а х переносится в другую. Произвольно выбирается значение х=3 для подстановки в неравенство. Отмечается, что данное значение х подставить в неравенство и заменить знак неравенства знаком равенства, можно найти соответствующее значение у=1. Пара (3;1) будет являться решением уравнения у=-(1/3)х+2. Если же подставлять любые значения у, большие 1, то неравенство с данным значением х будет верно: (3;2), (3;8) и др. Аналогично данному процессу нахождения решения рассматривается общий случай для поиска множества решений данного неравенства. Поиск множества решений неравенства начинается с подстановки некоторого значения х 0 . В правой части неравенства получается выражение -(1/3)х 0 +2. Некоторая пара чисел (х 0 ;у 0) является решением уравнения у=-(1/3)х+2. Соответственно решениями неравенства у>-(1/3)х 0 +2 будут соответствующие пары значений с х 0 , где у больше значений у 0 . То есть решениями этого неравенства будут пары значений (х 0 ;у).

Чтобы найти на координатной плоскости множество решений неравенства х+3у>6, на ней демонстрируется построение прямой, соответствующей уравнению у=-(1/3)х+2. На данной прямой отмечается точка М с координатами (х 0 ;у 0). При этом отмечается, что все точки К(х 0 ;у) с ординатами у>у 0 , то есть расположенные выше данной прямой, будут удовлетворять условиям неравенства у>-(1/3)х+2. Из анализа делается вывод о том, что данным неравенство задается множество точек, которые располагаются выше прямой у=-(1/3)х+2. Это множество точек составляют полуплоскость над данной прямой. Так как неравенство строгое, сама прямая не входит в число решений. На рисунке данный факт отмечен пунктирным обозначением.

Обобщая данные, полученные в результате описания решения неравенства х+3у>6, можно говорить о том, что прямая х+3у=6 разбивается плоскость на две полуплоскости, при этом расположенная выше полуплоскость отражает множество значений удовлетворяющих неравенству х+3у>6, а распложенная ниже прямой - решение неравенства х+3у<6. Данный вывод является важным для понимания, каким образом решаются неравенства, поэтому выведен на экран отдельно в рамке.

Далее рассматривается пример решения нестрогого неравенства второй степени у>=(х-3) 2 . Для определения множества решений рядом на рисунке строится парабола у=(х-3) 2 . На параболе отмечается точка М(х 0 ;у 0), значения которой будут решениями уравнения у=(х-3) 2 . В данной точке строится перпендикуляр, на котором выше параболы отмечается точка К(х 0 ;у), которая будет решением неравенства у>(х-3) 2 . Можно сделать вывод о том, что исходному неравенству удовлетворяют координаты точек, расположенных на данной параболе у=(х-3) 2 и выше ее. На рисунке данную область решений отмечают штрихованием.

Следующим примером, демонстрирующим положение на плоскости точек, являющихся решением неравенства второй степени, является описание решения неравенства х 2 +у 2 <=9. На координатной плоскости строится окружность радиусом 3 с центром в начале координат. Отмечается, что решениями уравнения будут точки, сумма квадратов координат которых не превышает квадрата радиуса. Также отмечается, что окружность х 2 +у 2 =9 разбивает плоскость на области внутри окружности и вне круга. Очевидно, что множество точек внутренней части круга удовлетворяют неравенству х 2 +у 2 <9, а внешняя часть - неравенству х 2 +у 2 >9. Соответственно, решением исходного неравенства будет множество точек окружности и области внутри ее.

Далее рассматривается решение уравнения ху>8. На координатной плоскости рядом с заданием строится гипербола, удовлетворяющая уравнению ху=8. Отмечается точка М(х 0 ;у 0), принадлежащая гиперболе и К(х 0 ;у) выше ее параллельно оси у. Очевидно, что координаты точки К соответствуют неравенству ху>8, так как произведение координат данной точки превосходит 8. Указывается, что таким же способом доказывается соответствие точек, принадлежащих области В, неравенству ху<8. Следовательно, решением неравенства ху>8 будет множество точек, лежащих в областях А и С.

Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» может послужить наглядным пособием учителю на уроке. Также материал поможет ученику, самостоятельно осваивающему материал. Полезно использование видеоурока при дистанционном обучении.

Часто приходится изображать на координатной плоскости мно-жество решений неравенства с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

2у + Зх < 6.

Сначала построим прямую. Для этого запишем неравенство в виде уравнения 2у + Зх = 6 и выразим y. Таким образом, получим: y=(6-3 x)/2.

Эта прямая раз-бивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее.

Возь-мем из каждой области по контрольной точке , например А (1;1) и В (1; 3)

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + Зх < 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2∙3 + 3∙1 < 6.

Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + Зх = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той об-ласти, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.

Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + Зх < 6.

Пример

Изобразим множество решений неравенства х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 > 0 на координатной плоскости.

Построим сначала график уравнения х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 = 0. Вы-делим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 2 2 .

Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.

Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность пунктирной линией.

Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 ме-няет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.

Пример

Изобразим на координатной плоскости множество решений нера-венства

(у - х 2)(у - х - 3) < 0.

Сначала построим график уравнения (у - х 2)(у - х - 3) = 0. Им яв-ляется парабола у = х 2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х 2)(у - х - 3) проис-ходит только на этих линиях. Для точки А (0; 5) определим знак это-го выражения: (5- 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для кото-рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Алгоритм решения неравенств с двумя переменными

1. Приведем неравенство к виду f (х; у) < 0 (f (х; у) > 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)

2. Записываем равенство f (х; у) = 0

3. Распознаем графики, записанные в левой части.

4. Строим эти графики. Если неравенство строгое (f (х; у) < 0 или f (х; у) > 0), то - штрихами, если неравенство нестрогое (f (х; у) ≤ 0 или f (х; у) ≥ 0), то - сплошной линией.

5. Определяем, на сколько частей графики разбили координатную плоскость

6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения f (х; у)

7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов)

8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку