Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля - символ, которым это понятие обозначается при написании.

Вконтакте

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль - это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а обозначается как |a| .

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

Особенности решения уравнений с модулем

Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5 , если, А больше или равняется нулю.

5-А , если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.

Процесс решения

Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.

Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х 1 =0, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

х 1 =2, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с < 0

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает.

Российский математик Ю.И. Манин

Уравнения с модулем

Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются уравнения, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких уравнений необходимо знать определение и основные свойства модуля. Естественно, что учащиеся должны иметь навыки решения уравнений такого типа.

Основные понятия и свойства

Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:

К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:

Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.

Кроме того , если , где , то и

Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений с модулями , формулируются посредством следующих теорем:

Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство

Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .

Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .

Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Уравнения , содержащие переменные под знаком модуля».

Решение уравнений с модулем

Наиболее распространенным в школьной математике методом решения уравнений с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. В этой связи учащиеся должны знать и другие , более эффективные методы и приемы решения таких уравнений. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.

Пример 1. Решить уравнение . (1)

Решение. Уравнение (1) будем решать «классическим» методом –методом раскрытия модулей. Для этого разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.

1. Если , то , , , и уравнение (1) принимает вид . Отсюда вытекает . Однако здесь , поэтому найденное значение не является корнем уравнения (1).

2. Если , то из уравнения (1) получаем или .

Так как , то корень уравнения (1).

3. Если , то уравнение (1) принимает вид или . Отметим , что .

Ответ: , .

При решении последующих уравнений с модулем будем активно использовать свойства модулей с целью повышения эффективности решения подобных уравнений.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Так как и , то из уравнения следует . В этой связи , , , и уравнение принимает вид . Отсюда получаем . Однако , поэтому исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .

Отсюда получаем .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде . (2)

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Принимая во внимание теорему 2, можно утверждать, что уравнение (2) равносильно неравенству . Отсюда получаем .

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет вид . Поэтому , согласно теореме 3 , здесь имеем неравенство или .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Положим , что . Так как , то заданное уравнение принимает вид квадратного уравнения , (3)

где . Поскольку уравнение (3) имеет единственный положительный корень и , то . Отсюда получаем два корня исходного уравнения: и .

Пример 7. Решить уравнение . (4)

Решение. Так как уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и , то при решении уравнения (4) необходимо рассмотреть два случая.

1. Если , то или .

Отсюда получаем , и .

2. Если , то или .

Так как , то .

Ответ: , , , .

Пример 8. Решить уравнение . (5)

Решение. Так как и , то . Отсюда и из уравнения (5) следует, что и , т.е. здесь имеем систему уравнений

Однако данная система уравнений является несовместной.

Ответ: корней нет.

Пример 9. Решить уравнение . (6)

Решение. Если обозначить , то и из уравнения (6) получаем

Или . (7)

Поскольку уравнение (7) имеет вид , то это уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Так как , то или .

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение . (8)

Решение. Согласно теореме 1 можно записать

(9)

Принимая во внимание уравнение (8), делаем вывод о том, что оба неравенства (9) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений

Однако по теореме 3 приведенная выше система уравнений равносильна системе неравенств

(10)

Решая систему неравенств (10) получаем . Так как система неравенств (10) равносильна уравнению (8), то исходное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

Пример 11. Решить уравнение . (11)

Решение. Пусть и , тогда из уравнения (11) вытекает равенство .

Отсюда следует, что и . Таким образом, здесь имеем систему неравенств

Решением данной системы неравенств являются и .

Ответ: , .

Пример 12. Решить уравнение . (12)

Решение. Уравнение (12) будем решать методом последовательного раскрытия модулей. Для этого рассмотрим несколько случаев.

1. Если , то .

1.1. Если , то и , .

1.2. Если , то . Однако , поэтому в данном случае уравнение (12) корней не имеет.

2. Если , то .

2.1. Если , то и , .

2.2. Если , то и .

Ответ: , , , , .

Пример 13. Решить уравнение . (13)

Решение. Поскольку левая часть уравнения (13) неотрицательна, то и . В этой связи , и уравнение (13)

принимает вид или .

Известно , что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , решая которые получаем , . Так как , то уравнение (13) имеет один корень .

Ответ: .

Пример 14. Решить систему уравнений (14)

Решение. Так как и , то и . Следовательно, из системы уравнений (14) получаем четыре системы уравнений:

Корни приведенных выше систем уравнений являются корнями системы уравнений (14).

Ответ: ,, , , , , , .

Пример 15. Решить систему уравнений (15)

Решение. Так как , то . В этой связи из системы уравнений (15) получаем две системы уравнений

Корнями первой системы уравнений являются и , а из второй системы уравнений получаем и .

Ответ: , , , .

Пример 16. Решить систему уравнений (16)

Решение. Из первого уравнения системы (16) следует, что .

Так как , то . Рассмотрим второе уравнение системы. Поскольку , то , и уравнение принимает вид , , или .

Если подставить значение в первое уравнение системы (16) , то , или .

Ответ: , .

Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с решением уравнений , содержащих переменные под знаком модуля , можно посоветовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 200 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.