Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Значения аргумента z при которыхf (z ) обращается в ноль наз. нулевой точкой , т.е. если f (a ) = 0 , то а - нулевая точка .

Опр. Точка а наз. нулём порядка n , если ФКП можно представить в виде f (z ) = , где
аналитическая функция и
0.

В этом случае в разложении функции в ряд Тейлора (43) первые n коэффициентов равны нулю

= =

Пр. Определить порядок нуля для
и (1 –cos z ) при z = 0

=
=

ноль 1 порядка

1 – cos z =
=

ноль 2 порядка

Опр. Точка z =
наз. бесконечно удаленной точкой и нулем функции f (z ), если f (
) = 0. Такая функция разлагается в ряд по отрицательным степеням z : f (z ) =
. Если первые n коэффициентов равны нулю, то приходим к нулю порядка n в бесконечно удаленной точке: f (z ) = z - n
.

Изолированные особые точки делятся на: а) устранимые особые точки ; б) полюса порядка n ; в) существенно особые точки .

Точка а наз. устранимой особой точкой функции f (z ) , если при z
a lim f (z ) = с - конечное число .

Точка а наз. полюсом порядка n (n 1) функции f (z ), если обратная функция
= 1/ f (z ) имеет нуль порядка n в точке а. Такую функцию всегда можно представить в виде f (z ) =
, где
- аналитическая функция и
.

Точка а наз. существенно особой точкой функции f (z ), если при z
a lim f (z ) не существует.

Ряд Лорана

Рассмотрим случай кольцевой области сходимости r < | z 0 – a | < R с центром в точке а для функции f (z ). Введем две новые окружности L 1 (r ) и L 2 (R ) вблизи границ кольца с точкой z 0 между ними. Сделаем разрез кольца, по кромкам разреза соединим окружности, перейдем к односвязной области и в

интегральной формуле Коши (39) получим два интеграла по переменной z

f (z 0) =
+
, (42)

где интегрирование идет в противоположных направлениях.

Для интеграла по L 1 выполняется условие | z 0 – a | > | z – a |, а для интеграла по L 2 обратное условие | z 0 – a | < | z – a |. Поэтому множитель 1/(z – z 0) разложим в ряд (а) в интеграле по L 2 и в ряд (b) в интеграле по L 1 . В результате получаем разложение f (z ) в кольцевой области в ряд Лорана по положительным и отрицательным степеням (z 0 – a )

f (z 0) =
A n (z 0 – a ) n (43)

где A n =
=
;A -n =

Разложение по положительным степеням (z 0 – а )наз. правильной частью ряда Лорана (ряд Тейлора), а разложение по отрицательным степеням наз. главной частью ряда Лорана.

Если внутри круга L 1 нет особых точек и функция аналитична, то в (44) первый интеграл равен нулю по теореме Коши и в разложении функции останется только правильная часть. Отрицательные степени в разложении (45) появляются лишь при нарушении аналитичности в пределах внутреннего круга и служат для описания функции вблизи изолированных особых точек.

Для построения ряда Лорана (45) для f (z ) можно вычислять коэффициенты разложения по общей формуле или использовать разложения элементарных функций, входящих в f (z ).

Число слагаемых (n ) главной части ряда Лорана зависит от типа особой точки: устранимая особая точка (n = 0) ; существенно особая точка (n
); полюс n – ого порядка (n - конечное число).

а) Для f (z ) = точка z = 0 устранимая особая точка, т.к. главной части нет. f (z ) = (z -
) = 1 -

б) Для f (z ) = точка z = 0 - полюс 1 – ого порядка

f (z ) = (z -
) = -

с) Для f (z ) = e 1 / z точка z = 0 - существенно особая точка

f (z ) = e 1 / z =

Если f (z ) аналитична в области D за исключением m изолированных особых точек и |z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m | , то при разложении функции по степеням z вся плоскость разбивается на m + 1 кольцо | z i | < | z | < | z i + 1 | и ряд Лорана имеет разный вид для каждого кольца. При разложении по степеням (z – z i ) областью сходимости ряда Лорана является круг | z – z i | < r , где r – расстояние до ближайшей особой точки.

Пр. Разложим функцию f (z ) =в ряд Лорана по степенямz и (z - 1).

Решение. Представим функцию в виде f (z ) = - z 2 . Используем формулу для суммы геометрической прогрессии
. В круге |z| < 1 ряд сходится и f (z ) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , т.е. разложение содержит только правильную часть. Перейдем во внешнюю область круга |z| > 1 . Функцию представим в виде
, где 1/|z | < 1, и получим разложение f (z ) = z
=z + 1 +

Т.к. , разложение функции по степеням (z - 1) имеет вид f (z ) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) для всех
1.

Пр. Разложить в ряд Лорана функцию f (z ) =
: а)по степеням z в круге |z | < 1; b) по степеням z кольце 1 < |z | < 3 ; c) по степеням (z – 2).Решение. Разложим функцию на простейшие дроби
= =+=
. Из условий z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

а) f (z ) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], при |z |< 1.

b) f (z ) = - ½ [
+
] = - (
), при 1 < |z | < 3.

с) f (z ) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, при |2 - z | < 1

Это круг радиуса 1 с центром в точке z = 2 .

В ряде случаев степенные ряды можно свести к набору геометрических прогрессий и после этого легко определить область их сходимости.

Пр. Исследовать сходимость ряда

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Решение. Это сумма двух геометрических прогрессий с q 1 = , q 2 = () . Из условий их сходимости следует < 1 , < 1 или |z | > 1 , |z | < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z | < 2 .

Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен:

1) Находим область определения функции .

2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).

3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.

Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично.

Начнём с распространённой квадратичной функции:

Пример 1

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение :

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют.

2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение . В данном случае:

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:

3) Откладываем все найденные точки на числовой оси:

В статье Область определения функции я выполнял подобные чертежи схематически, но сейчас для большей наглядности изложения буду их масштабировать (за исключением клинических случаев). На том же уроке мы узнали, как выяснить знаки функции на интервалах - можно проанализировать расположение параболы. В данном случае ветви параболы направлены вверх, следовательно, на интервалах функция будет положительна: . Попа параболы сидит на интервале ниже оси абсцисс, и функция здесь отрицательна: .

Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например, . Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение.

Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ:

Рассмотрим функцию непрерывную на некотором интервале , график которой не пересекает ось на этом интервале. Тогда:

Если функция положительна в какой-либо точке интервала , то она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала;

Если функция отрицательна в какой-либо точке интервала , то она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала.

Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке.

Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции и вам необходимо найти её интервалы знакопостоянства (кстати, если действительно не знаете, таки начертите многострадальную примадонну =)).

1) Берём произвольную точку интервала . С вычислительной точки зрения проще всего взять . Подставляем её в нашу функцию:

Следовательно, функция положительна и в каждой точке интервала .

2) Берём произвольную точку интервала , здесь по удобству вне конкуренции ноль.

Снова выполняем подстановку:

А, значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала .

3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала :

Поэтому функция положительна в каждой точке интервала .

Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик.

Фиксируем полученные результаты на числовой оси:

Да, вы не имеете никаких представлений о параболе, но совершенно точно можете сказать, что на интервалах график функции расположен ВЫШЕ оси , а на интервале - НИЖЕ данной оси.

Ответ :

Если ;
, если .

Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них:

.

Проводим аналогичные действия и даём ответ .

Решить квадратичное неравенство .

Проводим аналогичные действия и даём ответ .

Найти область определения функции .

Проводим аналогичные действия, даём ответ .

Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции . Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точке , при этом слева от данной точки (график ниже оси ), а справа (график выше оси ). Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов.

Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что (парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости). Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервал , берём из него самую удобную точку и выполняем подстановку: . А значит, функция положительна и в каждой точке интервала .

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

Ответ:x= -5.

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

Ответ: x=3; x=4.

Инструкция

1. Нуль функции - это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк. 2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x). 3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений. 4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х. 5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога. Обратите внимание! При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль. Полезный совет Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

Нулями функции называются значение абсциссы, при котором значение функции равно нулю.

Если функция задана своим уравнением, то нулями функции будут решения уравнения . Если задан график функции , то нули функции — это значения , в которых график пересекает ось абсцисс.

В котором она принимает нулевое значение. Например, для функции , заданной формулой

Является нулём, поскольку

Нули функции также называются корнями функции .

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс .

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона , градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана .

Корень многочлена

См. также

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Нуль функции" в других словарях:

Точка, где заданная функция f (z) обращается в нуль; таким образом, Н. ф. f (z) это то же самое, что и корни уравнения f (z) = 0. Например, точки 0, π, π, 2π, 2π,... суть нули функции sinz. Нули аналитической функции (См. Аналитические… …

Нуль функция, нуль функции … Орфографический словарь-справочник

У этого термина существуют и другие значения, см. Нуль. Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Нуль функции». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот … Википедия

Или C строка (от названия языка Си) или ASCIZ строка (от названия директивы ассемблера.asciz) способ представления строк в языках программирования, при котором вместо введения специального строкового типа используется массив символов, а концом… … Википедия

В квантовой теории поля принятое (жаргонное) название для свойства обращения в нуль фактора перенормировки константысвязи где g0 затравочная константа связи из лагранжиана взаимодействия, физ. константа связи, одетая взаимодействием. Равенство Z … Физическая энциклопедия

Нуль-мутация н-аллель - Нуль мутация, н. аллель * нуль мутацыя, н. алель * null mutation or n. allel or silent a. мутация, ведущая к полной потере функции в той последовательности ДНК, в которой она произошла … Генетика. Энциклопедический словарь

Утверждение в теории вероятностей о том, что всякое событие (т. н. остаточное событие), наступление к рого определяется лишь сколь угодно удаленными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет… … Математическая энциклопедия

1) Число, обладающее тем свойством, что любое (действительное или комплексное) число при сложении с ним не меняется. Обозначается символом 0. Произведение любого числа на Н. равно Н.: Если произведение двух чисел равно Н., то один из сомножителей … Математическая энциклопедия

Функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение x2 + y2 1 = 0 задаёт Н. ф. … Большая советская энциклопедия

Множество тех и только тех точек, ни в какой окрестности к рых обобщенная функция не обращается в нуль Обобщенная функция из обращается в нуль в открытом множестве если для всех. С помощью разложения единицы показано, что если обобщенная функция … Математическая энциклопедия

Что такое нули функции? Ответит довольно прост - это математический термин, под которым подразумевают область определения заданной функции, на котором ее значение нулевое. Нули функции также называют Проще всего пояснить, что такое нули функции, на нескольких простых примерах.

Примеры

Рассмотрим несложное уравнение у=х+3. Поскольку нуль функции - это значение аргумента, при котором у приобрел нулевое значение, подставим 0 в левую часть уравнения:

В данном случае -3 и есть искомый нуль. Для данной функции существует только один корень уравнения, но так бывает далеко не всегда.

Рассмотрим другой пример:

Подставим 0 в левую часть уравнения, как и в предыдущем примере:

Очевидно, что в данном случае нулей функции будет два: х=3 и х=-3. Если бы в уравнении был аргумент третьей степени, нулей было бы три. Можно сделать простой вывод, что количество корней многочлена соответствует максимальной степени агрумента в уравнении. Однако многие функции, например у=х 3 , на первый взгляд противоречат этому утверждению. Логика и здравый смысл подсказывают, что у этой функции только один нуль - в точке х=0. Но на самом деле корней три, просто все они совпадают. Если решать уравнение в комплексной форме, это становится очевидным. х=0 в данном случае, корень, кратность которого 3. В предыдущем примере нули не совпадали, потому имели кратность 1.

Алгоритм определения

Из представленных примеров видно, как определить нули функции. Алгоритм всегда один и тот же:

1. Записать функцию.
2. Подставить у или f(x)=0.
3. Решить получившееся уравнение.

Сложность последнего пункта зависит от степени аргумента уравнения. При решении уравнений высоких степеней особенно важно помнить, что количество корней уравнения равно максимальной степени аргумента. Особенно это актуально для тригонометрических уравнений, где деление обоих частей на синус или косинус приводит к потере корней.

Уравнения произвольной степени проще всего решать методом Горнера, который был разработан специально для нахождения нулей произвольного многочлена.

Значение нулей функций может быть как отрицательным, так и положительным, действительным или лежащим в комплексной плоскости, единичным или множественным. Или же корней уравнения может и не быть. Например, функция у=8 не приобретет нулевого значения ни при каком х, потому что она не зависит от этой переменной.

Уравнение у=х 2 -16 имеет два корня, и оба лежат в комплексной плоскости: х 1 =4і, х 2 =-4і.

Типичные ошибки

Частая ошибка, которую допускают школьники, еще не разобравшиеся толком в том, что такое нули функции, - это замена на ноль аргумента (х), а не значения (у) функции. Они уверенно подставляют в уравнение х=0 и, исходя из этого, находят у. Но это неправильный подход.

Другая ошибка, как уже упоминалось, сокращение на синус или косинус в тригонометрическом уравнении, из-за чего и теряется один или несколько нулей функции. Это не означает, что в таких уравнениях нельзя ничего сокращать, просто при дальнейших подсчетах необходимо учитывать эти "потерянные" сомножители.

Графическое представление

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.