Лекция 1.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Современное состояние проблемы моделирования систем

Понятия модели и моделирования

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемогообъекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом,именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведениев рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделированиеобычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследованияего модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в томслучае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний покаким-то причинам лучше вообще не создавать.

Под моделью понимается физический или абстрактный объект, свойствакоторого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта.При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимисясредствами. Существует ряд общих требований к моделям:

2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации

об объекте;

3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем

диапазоне изменения условий и параметров;

4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося

времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследованияего свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1) разработка модели;

2) исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются

отличающиеся по сути методы и средства.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимостиот способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса:физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средствоисследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов иявлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводятс сохранением его физической природы или используют другое физическоеявление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойстворигинала, которые являются существенными в конкретной ситуации.Например, при проектировании нового самолета создается его макет,обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планированиизастройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственноерасположение ее элементов. В связи с этим физическое моделированиеназывают также макетированием .

Полунатурное моделирование представляет собой исследованиеуправляемых систем на моделирующих комплексах с включением в составмодели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутуюмодель входят имитаторы воздействий и помех, математические моделивнешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точноематематическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальныхсистем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшитьаприорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точногоматематического описания. С помощью полунатурного моделированияисследования выполняются с учетом малых постоянных времени инелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей свключением реальной аппаратуры используется понятие динамическогомоделирования , при исследовании сложных систем и явлений -эволюционного , имитационного и кибернетического моделирования .

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть полученатолько при соблюдении двух условий:

1) модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств

оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2) модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие

проведению исследований на реальных объектах.

2. Основные понятия математического моделирования

Решение практических задач математическими методами последовательноосуществляется путем формулировки задачи (разработки математическоймодели), выбора метода исследования полученной математической модели,анализа полученного математического результата. Математическаяформулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов,функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может бытьпредставлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированнойили стохастической и другими математическими формами.

Теория математического моделирования обеспечивает выявлениезакономерностей протекания различных явлений окружающего мира илиработы систем и устройств путем их математического описания имоделирования без проведения натурных испытаний. При этом используютсяположения и законы математики, описывающие моделируемые явления,системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Математическая модель (ММ) представляет собой формализованноеописание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например,в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма,т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работысистем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальномуповедению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств.

Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторойстепенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природыреального объекта, так и от задач исследования.

Математическое моделирование общественных, экономических,биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройствявляется одним из важнейших средств познания природы и проектированиясамых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективногоиспользования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных иаэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений,погоды и т.д.

Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужнысуперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовкеданных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случаематематическое моделирование сложных систем и устройств не толькоэкономит средства на проведение исследований и испытаний, но и можетустранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться отиспытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математическогомоделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальнымиполетами.Между тем математическое моделирование на уровне решения болеепростых задач, например, из области механики, электротехники, электроники,радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее времястало доступным выполнять на современных ПК. А при использованииобобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточносложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей,радиолокационных или радионавигационных комплексов.

Целью математического моделирования является анализ реальныхпроцессов (в природе или технике) математическими методами. В своюочередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию.Модель может представлять собой математическое выражение, содержащеепеременные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятностивозможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, втеории игр; либо она может представлять реальные переменные параметрывзаимосвязанных частей действующей системы.

Математическое моделирование для исследования характеристик системможно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В своюочередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

Аналитическое моделирование

Для аналитического моделирования характерно, что процессыфункционирования системы записываются в виде некоторых функциональныхсоотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений). Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явныезависимости для характеристик систем;

2) численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде иих решают для конкретных начальных данных;

3) качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые егосвойства.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простыхсистем. Для сложных систем часто возникают большие математическиепроблемы. Для применения аналитического метода идут на существенноеупрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенноймодели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитическиемодели математически верно отражают связь между входными и выходнымипеременными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннююструктуру объекта.

При аналитическом моделировании его результаты представляются в видеаналитических выражений. Например, подключив RC -цепь к источникупостоянного напряжения E (R , C и E - компоненты данной модели), мыможем составить аналитическое выражение для временной зависимостинапряжения u (t ) на конденсаторе C :

Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и являетсяаналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическоерешение, при начальном условии u (0) = 0 , означающем разряженныйконденсатор C в момент начала моделирования, позволяет найти искомуюзависимость – в виде формулы:

u (t ) = E (1− eх p (- t / RC )). (2)

Однако даже в этом простейшем примере требуются определенные усилиядля решения ДУ (1) или для применения систем компьютерной математики (СКМ) с символьными вычислениями – систем компьютернойалгебры. Для данного вполне тривиального случая решение задачимоделирования линейной RC -цепи дает аналитическое выражение (2)достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любыхноминалах компонентов R , C и E , и описывает экспоненциальный зарядконденсатора C через резистор R от источника постоянного напряжения E .

Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическоммоделировании оказывается исключительно ценным для выявления общихтеоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств.Однако его сложность резко возрастает по мере усложнения воздействий намодель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающихмоделируемый объект. Можно получить более или менее обозримыерезультаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но ужепри большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерногромоздкими, сложными и трудно осмысляемыми. Например, даже простойэлектронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Тем неменее, многие современные СКМ, например, системы символьной математикиMaple, Mathematica или среда MATLAB , способны в значительноймере автоматизировать решение сложных задач аналитическогомоделирования.

Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование, которое заключается в получении необходимыхколичественных данных о поведении систем или устройств каким-либоподходящим численным методом, таким как методы Эйлера илиРунге-Кутта. На практике моделирование нелинейных систем и устройствс использованием численных методов оказывается намного болееэффективным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейныхцепей, систем или устройств. Например, для решения ДУ (1) или систем ДУв более сложных случаях решение в аналитическом виде не получается, но поданным численного моделирования можно получить достаточно полныеданные о поведении моделируемых систем и устройств, а также построитьграфики описывающих это поведение зависимостей.

Имитационное моделирование

Приимитационном 10имоделировании реализующий модель алгоритмвоспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируютсяэлементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логическойструктуры и последовательности протекания во времени.

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнениюсаналитическими является возможность решения более сложных задач.

Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных илинепрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействияи др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектированиясложных систем. Основным средством реализации имитационногомоделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровоемоделирование систем и сигналов.

В связи с этим определим словосочетание «компьютерноемоделирование », которое все чаще используется в литературе. Будем полагать,что компьютерное моделирование - это математическое моделированиес использованием средств вычислительной техники. Соответственно,технология компьютерного моделирования предполагает выполнениеследующих действий:

1) определение цели моделирования;

2) разработка концептуальной модели;

3) формализация модели;

4) программная реализация модели;

5) планирование модельных экспериментов;

6) реализация плана эксперимента;

7) анализ и интерпретация результатов моделирования.

При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводиталгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени приразличных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды.

Примером простейшей аналитической модели может служить уравнениепрямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процессас помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдениеза изменением пройденного пути с течением времени.Очевидно, в одних случаях более предпочтительным являетсяаналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того идругого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса.

С какой целью проводится моделирование?

К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двухпервых этапов моделирования.

Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуресоответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явноесоответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами,протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделированияявляется большое время решения задачи для получения хорошей точности.

Результаты имитационного моделирования работы стохастическойсистемы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтомудля нахождения характеристик системы требуется многократное повторение ипоследующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяетсяразновидность имитационного моделирования - статистическое

моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделяхслучайных факторов, событий, величин, процессов, полей.

По результатам статистического моделирования определяют оценкивероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующихфункционирование и эффективность управляемой системы. Статистическоемоделирование широко применяется для решения научных и прикладных задачв различных областях науки и техники. Методы статистическогомоделирования широко применяются при исследовании сложныхдинамических систем, оценке их функционирования и эффективности.

Заключительный этап статистического моделирования основан наматематической обработке полученных результатов. Здесь используют методыматематической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание,проверку гипотез). Примером параметрической оценки являетсявыборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрическихметодов большое распространение получил метод гистограмм .

Рассмотренная схема основана на многократных статистическихиспытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин.Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальнойпо затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто засчет использования более точных методов оценивания. Как известно изматематической статистики, наибольшую точность при заданном объемевыборки имеют эффективные оценки. Оптимальная фильтрация и методмаксимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок.В задачах статистического моделирования обработка реализацийслучайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов.

Весьма важен также и контроль характеристик входных случайныхвоздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределенийгенерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача частоформулируется как задача проверки гипотез .

Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложныхуправляемых систем является стремление к уменьшению временимоделирования, а также проведение исследований в реальном масштабевремени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентнойформе, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации.

ПРИНЦИПЫ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА В МОДЕЛИРОВАНИИ

Основные положения теории систем

Основные положения теории систем возникли в ходе исследованиядинамических систем и их функциональных элементов. Под системой понимают группу взаимосвязанных элементов, действующих совместнос целью выполнения заранее поставленной задачи. Анализ систем позволяетопределить наиболее реальные способы выполнения поставленной задачи,обеспечивающие максимальное удовлетворение поставленных требований.

Элементы, составляющие основу теории систем, не создаются с помощьюгипотез, а обнаруживаются экспериментальным путем. Для того чтобы начатьпостроение системы, необходимо иметь общие характеристикитехнологических процессов. Это же справедливо и в отношении принциповсоздания математически сформулированных критериев, которым долженудовлетворять процесс или его теоретическое описание. Моделированиеявляется одним из наиболее важных методов научного исследования иэкспериментирования.

При построении моделей объектов используется системный подход,представляющий собой методологию решения сложных задач, в основекоторой лежит рассмотрение объекта как системы, функционирующейв некоторой среде. Системный подход предполагает раскрытие целостностиобъекта, выявление и изучение его внутренней структуры, а также связейс внешней средой. При этом объект представляется как часть реального мира,которая выделяется и исследуется в связи с решаемой задачей построениямодели. Кроме этого, системный подход предполагает последовательныйпереход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цельпроектирования, а объект рассматривается во взаимосвязи с окружающейсредой.

Сложный объект может быть разделен на подсистемы, представляющие собой части объекта, удовлетворяющие следующим требованиям:

1) подсистема является функционально независимой частью объекта. Онасвязана с другими подсистемами, обменивается с ними информацией иэнергией;

2) для каждой подсистемы могут быть определены функции или свойства,не совпадающие со свойствами всей системы;

3) каждая из подсистем может быть подвергнута дальнейшему делению доуровня элементов.

В данном случае под элементом понимается подсистема нижнего уровня,дальнейшее деление которой нецелесообразно с позиций решаемой задачи.

Таким образом, систему можно определить как представление объектав виде набора подсистем, элементов и связей с целью его создания,исследования или усовершенствования. При этом укрупненное представлениесистемы, включающее в себя основные подсистемы и связи между ними,называется макроструктурой, а детальное раскрытие внутреннего строениясистемы до уровня элементов – микроструктурой.

Наряду с системой обычно существует надсистема – система болеевысокого уровня, в состав которой входит рассматриваемый объект, причёмфункция любой системы может быть определена только через надсистему.

Следует выделить понятие среды как совокупности объектов внешнего мира,существенно влияющих на эффективность функционирования системы, но невходящих в состав системы и ее надсистемы.

В связи с системным подходом к построению моделей используетсяпонятие инфраструктуры, описывающей взаимосвязи системы с ееокружением (средой).При этом выделение, описание и исследование свойств объекта,существенных в рамках конкретной задачи называется стратификациейобъекта, а всякая модель объекта является его стратифицированнымописанием.

Для системного подхода важным является определение структуры системы, т.е. совокупности связей между элементами системы, отражающих ихвзаимодействие. Для этого вначале рассмотрим структурный ифункциональный подходы к моделированию.

При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о структуре системы. Наиболее общим описанием структуры является топологическое описание. Оно позволяет определить составные части системыи их связи с помощью графов. Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваютсяо тдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы. При этом реализуетсяфункциональный подход, определяющий функции, которые выполняетсистема.

На базе системного подхода может быть предложена последовательностьразработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования:макропроектирование и микропроектирование.

На стадии макропроектирования строится модель внешней среды,выявляются ресурсы и ограничения, выбирается модель системы и критериидля оценки адекватности.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит отконкретного типа выбранной модели. В общем случае предполагает созданиеинформационного, математического, технического и программногообеспечения системы моделирования. На этой стадии устанавливаютсяосновные технические характеристики созданной модели, оцениваются времяработы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества модели.

Независимо от типа модели при ее построении необходиморуководствоваться рядом принципов системного подхода:

1) последовательное продвижение по этапам создания модели;

2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и другиххарактеристик;

3) правильное соотношение различных уровней построения модели;

4) целостность отдельных стадий проектирования модели.

В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.

Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.

Понятие «модель»

Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:

• специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
• еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
• моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).

Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.

Все модели можно классифицировать по ряду признаков:

• по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
• по динамике (статические и динамические);
• по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
• по способу представления (материальные и информационные).

Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.

Математическая модель

Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.

Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).

Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.

Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.

Дескриптивные модели

В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.

Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.

Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.

Оптимизационные модели

Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.

У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.

Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.

Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).

Многокритериальные модели

Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?

Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.

Какие критерии нам даны в данной задаче?

1. Питание должно быть полезным.
2. Расходы на пищу должны быть минимальными.

Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.

Игровые модели

Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.

Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.

Все модели имеют некие характеристики.

Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.

Имитационные модели

В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:

• модель динамики численности микроорганизмов;
• модель движения молекул, и так далее.

В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:

• через пять дней женская особь откладывает яйца;
• через двадцать дней муравей погибает, и так далее.

Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.

Требования

Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.

Универсальность	Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта
Адекватность	Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели
Точность	Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта
Экономичность	Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера

Этапы моделирования

Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.

1. Формулировка законов, связывающих части модели.
2. Исследование математических задач.
3. Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
4. Анализ и модернизация модели.

Экономико-математическая модель

В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:

• формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
• максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.

Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.

Компьютерная математическая модель

Примерами компьютерной математической модели являются:

• задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
• задачи на механику твердого тела, и так далее.

Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:

• таблицы;
• блок-схемы;
• диаграммы;
• графика, и так далее.

При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.

Построение экономико-математической модели

Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.

Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.

Пример построения простой математической модели

Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:

• 8 рыб - обитатели северных морей;
• 20% улова - обитатели южных морей;
• из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.

Сколько рыб он купил в магазине?

Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.

Задачи, решаемые методами ЛП, очень разнообразны по содержанию. Но их математические модели схожи и условно объединяются в три большие группы задач:

• транспортные задачи;
• задачи о составлении плана;

Рассмотрим примеры конкретных экономических задач каждого типа, подробно остановимся на построении модели каждой задачи.

Транспортная задача

На двух торговых базах А и В имеется 30 гарнитуров мебели, по 15 на каждой. Всю мебель требуется доставить в два мебельных магазина, С и Д причем в С надо доставить 10 гарнитуров, а в Д - 20. Известно, что доставка одного гарнитура с базы А в магазин С обходится в одну денежную единицу, в магазин Д - в три денежных единицы. Соответственно с базы В в магазины С и Д : две и пять денежных единиц. Составить план перевозок так, чтобы стоимость всех перевозок была наименьшей.
Данные задачи для удобства разметим в таблице. На пересечении строк и столбцов стоят числа, характеризующие стоимость соответствующих перевозок (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Составим математическую модель задачи.
Необходимо ввести переменные. В формулировке вопроса говорится, что необходимо составить план перевозок. Обозначим через х 1 , х 2 количество гарнитуров, перевозимых с базы А в магазины С и Д соответственно, а через у 1 , у 2 - количество гарнитуров, перевозимых с базы В в магазины С и Д соответственно. Тогда количество мебели, вывозимое со склада А , равно (х 1 + х 2), а со склада В - (у 1 + у 2). Потребность магазина С равна 10 гарнитурам, и в него привезли (х 1 + у 1) штук, т. е. х 1 + у 1 = 10. Аналогично, для магазина Д имеем х 2 + у 2 = 20. Заметим, что потребности магазинов в точности равны количеству гарнитуров, имеющихся на складах, поэтому х 1 + у 2 = 15 и у 1 + у 2 = 15. Если бы со складов вы увезли меньше, чем по 15 комплектов, то магазинам не хватило бы мебели для удовлетворения их потребностей.
Итак, переменные х 1 , х 2 , у 1 , у 2 по смыслу задачи неотрицательны и удовлетворяют системе ограничений:
(3.1)
Обозначив через F транспортные расходы, посчитаем их. на перевозку одного комплекта мебели из А в С тратится одна ден. ед., на перевозку x 1 комплектов - x 1 ден. ед. Аналогично, на перевозку x 2 комплектов из А в Д затратится 3x 2 ден. ед.; из В в С - 2y 1 ден. ед., из В в Д - 5y 2 ден. ед.
Итак,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3.2)
(мы хотим, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной).
Сформулируем задачу математически.
На множестве решений системы ограничений (3.1) найти такое решение, которое обращает в минимум целевую функцию F (3.2), или найти оптимальный план (x 1 , x 2, y 1 , y 2), определяемый системой ограничений (3.1) и целевой функцией (3.2).
Задача, которую мы рассмотрели может быть представлена в более общем виде, с любым числом поставщиков и потребителей.
В рассмотренной нами задаче наличие груза у поставщиков (15 + 15) равно общей потребности потребителей (10 + 20). Такая модель называется закрытой , а соответствующая задача - сбалансированной транспортной задачей.
В экономических расчетах немалую роль играют и так называемые открытые модели, в которых указанное равенство не соблюдается. Либо запас у поставщиков больше потребности у потребителей, либо спрос превышает наличие товара. заметим, что тогда в систему ограничений несбалансированной транспортной задачи наряду с уравнениями будут входить и неравенства.

Вопросы для самоконтроля
1. Постановка транспортной задачи. опишите построение математической модели.
2. Что такое сбалансированная и несбалансированная транспортная задача?
3. Что подсчитывается в целевой функции транспортной задачи?
4. Что отражает каждое неравенство системы ограничений задачи о плане?
5. Что отражает каждое неравенство системы ограничений задачи о смеси?
6. Что обозначают переменные в задаче о плане и задаче о смеси?

По учебнику Советова и Яковлева : «модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала». (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием». (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи».

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение , выражающее идею ».

Классификация моделей

Формальная классификация моделей

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий . Например, один из популярных наборов дихотомий :

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

• Структурные или функциональные модели

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» . Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика ».

Содержательные и формальные модели

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель . Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель , умозрительная модель или предмодель . При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики , биологии , экономики , социологии , психологии , и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Содержательная классификация моделей

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман :

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть».

Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы …)

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира , проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым )

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика . Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома .

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Тип 8: Демонстрация возможности (главное - показать внутреннюю непротиворечивость возможности )

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой , прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука () после чего воспользуемся вторым законом Ньютона , чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения :

где означает вторую производную от по времени: .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором ».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т. д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).

Жёсткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, - некоторый малый параметр. Явный вид функции нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида , то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания . Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности : принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в -образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем ».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача : структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера , - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический мост через реку Тей , конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача : известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования ). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение ) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение ).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику . Задача этой науки - разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений . Т.е. множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Компьютерные системы моделирования

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Дополнительные примеры

Модель Мальтуса

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции . Она описывается дифференциальным уравнением

где - некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция . Если рождаемость превосходит смертность (), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель , которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

где - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению , причем такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных : кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов , число лис . Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки - Вольтерра :

Эта система имеет равновесное состояние , когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора . Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым : малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения . Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать . Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра - Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Примечания

1. «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б. , О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры . - 2-е изд., испр. - М .: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А.Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. - 344 с.
7. Wiktionary: mathematical model
8. CliffsNotes.com. Earth Science Glossary. 20 Sep 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. «Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует. … ез отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как „не нелинейность“.» Данилов Ю. А. , Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». Изд.2. - M.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
11. «Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния.» Анищенко В. С. , Динамические системы, Соросовский образовательный журнал, 1997, № 11, с. 77-84.
12. «В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. … Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. ISBN 5-06-003860-2
13. Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует - например, как он реагирует на внешние воздействия,- то она называется функциональной или, образно, черным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа. Мышкис А. Д. ISBN 978-5-484-00953-4
14. «Очевидный, но важнейший начальный этап построения или выбора математической модели - это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях. Нельзя жалеть времени и усилий на этот этап, от него в значительной мере зависит успех всего исследования. Не раз бывало, что значительный труд, затраченный на решение математической задачи, оказывался малоэффективным или даже потраченным впустую из-за недостаточного внимания к этой стороне дела.» Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4 , с. 35.
15. «Описание концептуальной модели системы. На этом подэтапе построения модели системы: а) описывается концептуальная модель М в абстрактных терминах и понятиях; б) дается описание модели с использованием типовых математических схем; в) принимаются окончательно гипотезы и предположения; г) обосновывается выбор процедуры аппроксимации реальных процессов при построении модели.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2 , с. 93.
16. Блехман И. И., Мышкис А. Д.,

Основой для решения экономических задач являются математические модели.

Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи.

Составление математической модели включает:

• выбор переменных задачи
• составление системы ограничений
• выбор целевой функции

Переменными задачи называются величины Х1, Х2, Хn, которые полностью характеризуют экономический процесс. Обычно их записывают в виде вектора: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).

Системой ограничений задачи называют совокупность уравнений и неравенств, описывающих ограниченность ресурсов в рассматриваемой задаче.

Целевой функцией задачи называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

В общем случае задача линейного программирования может быть записана в таком виде:

Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции (1) и соответствующие ему переменные X=(X 1 , X 2 ,...,X n) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (2) и условиям неотрицательности (3).

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор X=(X 1 , X 2 ,...,X n), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР).

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Пример составления математической модели

Задача использования ресурсов (сырья)

Условие: Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов. Составить математическую модель.

Известны:

• b i (i = 1,2,3,...,m) — запасы каждого i-го вида ресурса;
• a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) — затраты каждого i-го вида ресурса на производство единицы объема j-го вида продукции;
• c j (j = 1,2,3,...,n) — прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции.

Требуется составить план производства продукции, который обеспечивает максимум прибыли при заданных ограничениях на ресурсы (сырье).

Решение:

Введем вектор переменных X=(X 1 , X 2 ,...,X n), где x j (j = 1,2,...,n) — объем производства j-го вида продукции.

Затраты i-го вида ресурса на изготовление данного объема x j продукции равны a ij x j , поэтому ограничение на использование ресурсов на производство всех видов продукции имеет вид:
Прибыль от реализации j-го вида продукции равна c j x j , поэтому целевая функция равна:

Ответ - Математическая модель имеет вид:

Каноническая форма задачи линейного программирования

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися.

В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической.

Она может быть представлена в координатной, векторной и матричной записи.

Каноническая задача линейного программирования в координатной записи имеет вид:

Каноническая задача линейного программирования в матричной записи имеет вид:

• А — матрица коэффициентов системы уравнений
• Х — матрица-столбец переменных задачи
• Ао — матрица-столбец правых частей системы ограничений

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными, которые в матричной записи имеют вид:

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако при составлении моделей экономических задач ограничения в основном формируются в виде системы неравенств, поэтому необходимо уметь переходить от системы неравенств к системе уравнений.

Это может быть сделано следующим образом:

Возьмем линейное неравенство a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b и прибавим к его левой части некоторую величину x n+1 , такую, что неравенство превратилось в равенство a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n +x n+1 =b. При этом данная величина x n+1 является неотрицательной.

Рассмотрим все на примере.

Пример 26.1

Привести к каноническому виду задачу линейного программирования:

Решение:
Перейдем к задаче на отыскивание максимума целевой функции.
Для этого изменим знаки коэффициентов целевой функции.
Для превращения второго и третьего неравенств системы ограничений в уравнения введем неотрицательные дополнительные переменные x 4 x 5 (на математической модели эта операция отмечена буквой Д).
Переменная х 4 вводится в левую часть второго неравенства со знаком "+", так как неравенство имеет вид "≤".
Переменная x 5 вводится в левую часть третьего неравенства со знаком "-", так как неравенство имеет вид "≥".
В целевую функцию переменные x 4 x 5 вводятся с коэффициентом. равным нулю.
Записываем задачу в каноническом виде.